MÜZİKTE MATEMATİK VE ALTIN ORAN

[martı]

MÜZİĞİN TEMELİNDEKİ MATEMATİK ve ALTIN ORAN

Tarih boyunca pek çok matematikçi müzikle ilgilenmiştir. Bazılarımızın aklına 'Acaba pek çok müzisyen de matematikle ilgilenmiş midir?' gibi bir soru takılabilir. Kuşkusuz ilgilenen müzisyenler vardır ancak bir karşılaştırma yapılırsa matematikçiler çok daha öndedirler. "Müzik, iki bin yıl öncesinde matematiksel bir bilim olarak ele alınmıştır.  Hatta yakın zamanlarda bile Ozanam, Saverien ve Hutton'un matematik sözlüklerinde müzik ile ilgili makaleler vardır.  Bu yüzden matematikçilerin müzik ile ilgili yazmaları şaşırtıcı gelmemelidir" (Archibald,1923: 2).  Asıl konumuza dönecek olursak, müzik ve matematik arasındaki ilişkinin incelenmesi eski Yunanlılara kadar uzanır. Eski Yunan' da müzik, matematiğin 4 ana dalından biri olarak kabul edilmiştir. Pythagoras (M.Ö. 586) okulunun (Quadrivium) programına göre Müzik; Aritmetik, Geometri ve Astronomi ile aynı düzeyde kabul görmüştür.  Bir telin değişik boyları ile değişik sesler elde edildiğini ortaya çıkartan Pyhagoras, M.Ö. 6. yüzyılda yaşamıştır ve bugün kullanılmakta olan müzikal dizinin temelini oluşturması açısından oldukça önemli bir iş yapmıştır.  Konfiçyüs (M.Ö. 551-478) belirli modların insanlar üzerine etkisini incelemiştir. Platon ( M.Ö. 428/7-348/7) müziği etiğin bir parçası olarak kabul etmektedir. Platon, karışıklıktan kaçınır ve basitliği savunur.  Karışıklığın düzensizlik ve depresyona yol açacağını savunur. Platon, insan karakteri ile müzik arasında bir bağlantı bulmuştur.

Pythagoras, 12 birimlik bir teli ikiye bölmüş ve oktavı elde etmiştir.  Elde edilen 6 birimlik uzunluk ( telin ½ si), 12 birimlik uzunluğun bir oktav tizidir. Pythagoras 8 birimlik uzunluk ile (telin 2/3 ü) 5 li aralığı, 9 birimlik uzunluk ile (telin ¾ ü) 4 lü aralığı bulmuştur.  Antik devirde dört sesin bir arada duyulması prensibi "tetrakord" olarak adlandırılmakta ve müzik teorisinin temel kuralı olarak sayılmaktadır.  Böylelikle tetrakord, 6,8,9 ve 12 ile elde edilmiştir ve ileride değineceğimiz gibi bu sayılar bize "altın oran" konusunda da oldukça ilginç örtüşmeler sunmaktadır. 

Pythagoras oranlarına göre, 5 li ile 4 lü arasındaki fark tam tonu vermektedir. 

2/3:3/4=8/9  (5T-4T=2M ) 

Yani, tam sesin 8/9 ile çarpımı bize o sesin bir ton tizini vermektedir.

Devam edecek olursak;  8/9.8/9=64/81  (2M+2M=3M)

Esas sesimiz "do" olsun.  Do nun ½ si bize do nun bir oktav tizini, 2/3 ü "sol" sesini, ¾ ü "fa" sesini, 8/9 i ise "re" sesini, 64/81 i ise " mi" sesini vermektedir.

Diğer aralıkları kısaca şöyle sıralayabiliriz;

3/4:8/9=27/32  4T-2T=3m

2:27/32=16/27  6M

2:64/82=81/128  6m

2: 8/9=9/16 7m

Bu şekilde gidildiği zaman; Do, re, mi, fa, sol, la ,si, do sesleri sırasıyla; 1, 8/9, 64/81, ¾, 2/3, 16/27, 128/243 ve 1/2  oranları ile ifade edilir.

Pythagoras, telin 8/9 u ile 1 tam tonu elde etmiştir, ancak bir notaya 6 kez tam ton ilave edildiğinde neredeyse o notanın oktavı elde edilmiştir ki bu da "Pythagoras koması" olarak adlandırılır. Bu durumda Pythagoras sisteminde bazı değişikliklere gerek duyulmuş ve böylece zaman içinde tampere edilmiş bir şekilde 12 eşit yarım tonluk bir sistem geliştirilmiştir.  1 tam ton 8/9 ile değil iki yarım ton ile gösterilmiştir .

Tampere edilmiş 5 li,  7 yarım ton ile ifade edilmektedir ve buda, Pythagoras 5 lisinden daha küçük bir aralıktır.  4lü ise,  5 yarım ton ile ifade edilir ve Pythagoras 4 lüsünden daha büyüktür.

Yapılan bazı çalışmalarda insan kulağının hala Pythagoras aralıklarını tercih ettiğini gösterse de günümüzde kullanılan tampere edilmiş sistemden vazgeçmek mümkün değildir (Reid,1995).

Euclid (M.Ö. 300)'in çalışmaları temel olarak Pythagoras'a dayanır, ancak Pythagoras ve Euclid iki önemli konuda birbirlerinden ayrılırlar; kurulan majör  dizideki Maj. 3 'lü ve Maj. 6'lı aralıklarda.  Örneğin Do dizisinde Euclid 'in Maj. 3'lüsü 4/5=64/80 iken,   Pythagoras için bu; 64/81=8/9.8/9 dur (Archibald,1923: 10).

Estetik anlayışındaki en eski ve en yerleşik kavram, kökü Sokrates ve öncesi filozoflara uzanan oransal uyumluluk (congruentia) , oran ve sayı kavramlarıdır. (Eco, 1996: 51) . Yunan düşüncesine 'oran' anlayışı büyük önem taşımaktadır.  Ortaçağ filozoflarından Boethius ta müzik kuramıyla ilişkili olarak bir oransal ilişkiler öğretisi geliştirerek,oran felsefesini başlangıçtaki Pythagoasçı biçimi ile Ortaçağ'a aktarır. (Eco,1996: 53). Aritmetik, geometri ve müzik ile ilgili çalışmaları vardır.  Boethius için müzik matematiksel bir bilimdir.

Müzikte önemli olan bir başka isim Fibonacci'dir.     Leonardo Fibonacci (1175-1240)  bir İtalyan matematikçisidir.   Matematik biliminde önemli çalışmaları olmuştur. Ancak ençok "tavşan çiftliği" problemi ile meşhur olmuştur.  Probleme göre; bir çift tavşan var ve bir ay geçtikten sonra her yeni çift tavşan bir çift tavşan  doğuruyor. Her yeni doğan çift ikinci ay birer çift tavşan doğurur ve bu böylece devam eder. Kaç ay sonra kaç çift tavşan olur.  Sonuçta karşımıza şu şekilde bir seri çıkar;

1,  1,  2,  3,  5,  8,  13,  21,  34,  55,  89,  144,  233,  377,  610,  987...

Seriye bakacak olursak,  son iki sayının toplamı bize bir sonraki sayıyı vermektedir.  Burada bizim için önemli olan orandır.  Dikkat edilecek olursa iki ardışık sayının oranı (küçük sayının büyük sayıya oranı) aynı sayıya yakınsamaktadır.  0, 61803398......Bu oran resimde, mimaride, ve müzikte çeşitli dönemlerde "altın oran"  veya "mükemmel oran" olarak kullanılmıştır.

 

Altın oranı geometrik olarak ifade edecek olursak, ikiye bölünmüş bir  [AB] doğru parçası düşünelim.   Tüm doğru parçasının  büyük parçaya oranının, büyük parçanın küçük parçaya oranına eşitliği bize altın oranı vermektedir.

 

Pythagoras aralıklarından bahsederken tetrakord u oluşturan 6,  8,  9,  ve 12 birimlik tellerden bahsetmiştik.  Şimdi bu aralıkları altın orana uygulayacak olursak, 

(12-8) : (8-6) = 12: 6 oranının altın oran olduğunu görürüz. Bu,  oldukça ilginç bir örtüşmedir.

Müzikte yapılan çeşitli çalışmalarda altın oranın kompozisyonlarda melodik, ritmik veya dinamik olarak belirli bir orana göre oluşturulduğu görülmüştür.

 

Bella Bartok,  altın oranı kullanan bestecilerdendir. "Bartok, Fibonnacci sayıları ile bir dizi oluşturmuş ve bu dizinin elemanlarını bestelerinde kullanmıştır" (Aktarma Gönen, 1998: 13).  "Music for strings,  percussion and celeste"  parçasının ilk bölümünde en önemli kısım,  89 ölçünün 55.  ölçüsünde kullanılmıştır (Rustin, 1998).

 

Bu konuda yaygın olarak bilinen bir parça Haendel'in "Hallelujah" eseridir.  Bu eserde toplam 94 ölçü vardır.  En önemli kısımlardan birisi; solo trompetlerin girişi "Kings of kings", 57.  ve 58.  ölçülerde başlamaktadır.  Yani 94 ölçünün 8/13 inde.   94.  8/13=~58.  İlk 57 ölçünün 8/13 inde ise (ki bu da 34.  ölçüdür) "The Kingdom of Glory..."teması başlamaktadır.  İkinci 37.  ölçüsünün 8/13 ünde ise (yani 79. ölçüde) "And he shall reign.... " tekrar solo trompetlerin görüldüğü önemli bir bölüm gelmektedir.  Haendel'in bu kompozisyonu yazarken ne düşündüğünü bilmiyoruz ama en azından bu örnek,  müzikte altın oranın kullanılabileceğini bize göstermektedir  (Beer, 1998:.

 

Mozart'ında altın oranı kullanıp kullanmadığına dair çeşitli görüşler vardır. John F.Putz'a göre  Mozart'ın eserleri bir dahi işidir ve sayılarla oynamayı seven birisinin işidir. O'na göre Mozart altın oranı biliyordu ve eserlerinde kullanmıştır (May, 1996).

 

19. yy.  da J. Fourier,  müzikal serinin niteliğini incelemiştir. "Fourier,  müzik aleti ve insandan çıkan bütün müzikal seslerin matematiksel ifadeler ile tanımlanabileceğini ve bununda periyodik sinüs fonksiyonları ile olabileceğini ispatlamıştır."(Matematik Dünyası, 1995:7) Ünlü Matematikçi Leibniz,  "Müzik ruhun gizli bir matematiksel problemidir" demiştir. 

 

Euler, seslerin düzgün salınımı prensibine dayanan tampere sistemi temel olarak yanlış bulmakta ve yetenekli icracı için tercih edilemez olduğu görüşünü savunmaktadır.  Bu doğrultuda yeni bir ses sistemi geliştirmiştir.  Ancak Euler sistemi müzisyenlere fazla matematiksel, matematikçilere ise fazla müzikal gelmiştir.  Euler yerine koyma adı verilen bu teoriyi, sesi algılayan kişinin fiziksel koşullara göre algılaması gerektiğinden farklı olarak neleri algıladığı ve hangi etkilere maruz kaldığı sorularına yanıt ararken geliştirmiştir. Bu bir tür "deneme teorisi" dir. ( Gönen, 1998:13)

KAYNAK: www.muzikbilim.com