Masonlar.org - Harici Forumu
Masonluk Bilgidir. Bilimdir. Ilimdir. => Geometri => Konuyu başlatan: Risus - Mart 05, 2015, 10:36:20 öö
-
Merhabalar. Bir üniversite profesörünün yakın bir dostuma sorduğu soruymuş. Ne kadar uğraştıysam bulamadım. Belkide buldum ancak doğrulayamadım. Aşağıdaki açının derecesi nedir? Ben 120 buldum.
(http://i.hizliresim.com/58qQql.jpg)
-
Sayın Risusun sorusu bu kadar zor mu yahu !, hiç mi geometri bilen yok ? Şöyle sağlam bir şekilde cevaplayıverin bu basit soruyu.
Saygılar-sevgiler. ;) ;) ;)
-
Açıkçası uzun uğraşlar sonucunda çözdüm soruyu =)
-
Bu soru veri eksikliği olan bir sorudur. Soru bu haliyle verildiğinde ancak çözüm için bir aralık verilebilir.
Çözüm: 91<s(B)< 119 aralığındaki açılardır.
Kesin sonuç için başka bir veriye daha ihtiyaç vardır.
Soru için:
1. s(B)<90 olduğu varsayılmış, çözüm olmayacağı bulunmuştur.
2. 91<s(B)< 119 olabileceği gösterilmiş.
3. s(B)=120 olduğu varsayılmış, çözüm olmayacağı bulunmuştur.
4. s(B) >121 olduğu varsayılmış, çözüm olmayacağı bulunmuştur.
İncelemesi aşağıdadır.
1. s(B) açısının dar açı (değeri 90 dereceden küçük açı) olmayacağını görebiliriz. Çünkü dar açı olursa şekildeki gibi verilen [AD]=[BC] gibi bir eşitlikte [AD] böleninin aslında [AC] kenarı olması lazım. Bu da imkansız, çünkü s(DAC) açısı 10 derece verilmiş. Yani 10 derece yerine 0 derece olmalıydı ki [AD]=[BC] eşitliği sağlansın.
2. s(B) açısının dar açı olmayacağını ortaya koyduktan sonra geniş açı olduğunu (değerinin 90 dereceden büyük) kabul edelim. Ve mesela s(B)=91 derece olsun. s(BDA) açısının 40 derece olduğunu görebiliriz (bir dış açı kendisin e komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir, s(BDA)= s(C) +s(DAC)=30+10=40), devamında ise s(ADC) açısı ise 140 derece olur. Buradan hareketle s(BAD) açısının 49 derece olması gerekir.
s(B)=91 derece için açı-kenar bağıntılarını yazmak gerekirse
i. ABC üçgeninde s(B)>s(A)>s(C) olduğuna göre [AC]>[BC]>[AB]
ii. ABD üçgeninde s(B)>s(BAD)>s(BDA) olduğuna göre [AD]>[BD]>[AB]
iii. ADC üçgeninde s(ADC)>s(C)>s(DAC)olduğuna göre [AC]>[AD]>[DC]
soruda verilen [AD]=[BC] eşitliğini yukarıdaki yazdığımız açı-kenar bağıntılarında yerine koyarak (i), (ii) ve (iii) ifadelerini yeniden yazalım: [AC]>[AD]>[AB], [BC]>[BD]>[AB] ve [AC]>[BC]>[DC] olur.
Şekil incelendiğinde hepsinin uygun olduğu görülür.
(Burada yazılan eşitsizliklerin tamamı s(B)= 91 ile s(B)= 119 derece arasında olan tüm açı değerleri yani 91<s(B)< 119 için geçerlidir)
3. s(B)=120 olsun dersek. s(BAD)=20 olur, s(A)=30 olarak karşımıza çıkar. Bu durumda s(A)=30, ve s(C)=30 olduğuna göre ABC ikizkenar üçgen olarak karşımıza çıkar ve [AB]=[BC] olacağı görülebilir. Soruda [AD]=[BC] olarak verildiğine göre [AD]=[AB] olur. ABD üçgeni de ikizkenar üçgen olarak karşımıza çıkar ve s(B) açısı da s(BDA) açısına eşit olmalı yani değeri 120 derece olmalıdır. Bu imkansızdır çünkü s(B)=120 idi. 180 olması gereken ABD üçgeninin iç açıları toplamı s(B) + s(BDA) +s(BAD)=120+120+20=260 olur.
Yani s(B)=120 olayacağı görülmüştür.
4. s(B) açısının ölçüsü 120 dereceden büyük müdür?
s(B)=121 olduğunu varsayalım. s(BDA) açısının 40 derece olduğunu söylemiştik (bir dış açı kendisin e komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir, s(BDA)= s(C) +s(DAC)=30+10=40), devamında ise s(ADC) açısı ise 140 derece olur. Buradan hareketle s(BAD) açısının 19 derece yani s(A)=29 olması gerekir.
s(B)=121 derece için açı-kenar bağıntılarını yazmak gerekirse
i. ABC üçgeninde s(B)>s(C)>s(A) olduğuna göre [AC]>[AB]>[BC]
ii. ABD üçgeninde s(B)>s(BDA)>s(BAD) olduğuna göre [AD]>[AB]>[BD]
iii. ADC üçgeninde s(ADC)>s(C)>s(DAC)olduğuna göre [AC]>[AD]>[DC]
soruda verilen [AD]=[BC] eşitliğini yukarıdaki yazdığımız açı-kenar bağıntılarında yerine koyarak (i), (ii) ve (iii) ifadelerini yeniden yazalım: (i) ifadesini yeniden yazdığımızda elde ettiğimiz [AC]>[AB]>[AD] biçimindeki bir eşitsizliğinin sağlanması için [BC] kenarının D noktasından kırık olması gerekir. (ii) ifadesini yeniden yazdığımızda elde ettiğimiz [BC]>[AB]>[BD] ifadesinin sağlanması için [BC]>[AB] yani s(A)>s(C) yani 29>30 olmalıdır.
Demek ki 120’den de büyük değildir.
(Burada yazılan incelemelerin tamamı 121<s(B)<139 arasındaki tüm açılar için geçerlidir. 139’dan büyük olamaz. Çünkü s(DAB)=10, s(C)=30 olarak verilmiş olduğundan 140'dan daha küçük olmalıldır.)
-
30-60-90 üçgeni değil mi bu? :D
-
soruyu göremedim. bir ben mi göremiyorum? göz atmak isterdim...