0 boşluk yokluk ,olmayan, tanımsız, anlamına da gelir ve matematikte limit kavramıyla açıklanmaya çalışılmıştır.
(1) Bir sayının sıfıra bölümü için “belirsiz”den çok “tanımsız” kelimesi daha uygun. Belirsiz, bir çok olası sonuç olduğunu, bunlardan hangisinin geçerli olduğunu bilmediğimizi ifade ediyor. Tanımsız ise, standart tanımın bu duruma uygulanamadığını. Önce matematiksel açıdan bakalım. Bölme işlemi şu şekilde tanımlanıyor:
“A/B”, B ile çarpıldığında A’yı veren sayıdır.
Yani, bölme işlemini çarpma işleminden sonra tanımlıyoruz. Neyse. Yukarıdaki tanımın doğru anlamda bir tanım olması için, ifadenin işaret ettiği şeyin var olması ve bir tane olması gerekir. Yani, (1) B ile çarpılan hiç bir sayı A’yı vermiyorsa, A/B tanımlanamaz ve (2) eğer B ile çarpıldığında A’yı veren iki veya daha fazla farklı sayı varsa bu durumda da yukarıdaki tanım işe yaramaz (hangisi?). Bu nedenle, 0/0, (2) nedeniyle, 8/0 da (1) nedeniyle tanımsızdır. Matematikçiler bunları tanımlamaz ve bu işlemleri yapmaz. Kısacası, bölme işlemini bütün sayılar için tanımlamıyoruz ve bunda da garip bir durum yok. Sorun bir bakıma, diğer üç işlemin (toplama, çıkarma ve çarpma) bütün sayılar için tanımlı olması, bölmenin de bu anlamda istisna olmasından kaynaklanıyor galiba, ama “bir işlemin bütün sayılar için tanımlı olması gerekir” diye bir kural yok.
(2) Yine felsefi değil, ama yukarıdaki matematiksel açıklamanın günlük yaşamımızdaki uygulamalar açısından (örneğin su borcunu hesaplarken, ya da Ay’a roket göndermek için yaptığımız hesaplarda) anlamı şu: Eğer bu tip hesaplamalarda bir yerde ‘8/0’ ile karşılaşırsak bunun iki olası anlamı vardır: (1) Ya hesabımızın bir aşamasında aritmetik bir hata yapmışızdır (bir rakamı yanlış geçirmek gibi) ki bu durumda geri dönüp o yanlışı düzeltmemiz gerekir. (2) Ya da hesaba başlamadan önce yaptığımız varsayımlardan birisi yeterli değildir (örneğin, roketin kütlesi Dünya ve Ay’ınkine göre çok düşüktür, o halde bunu ‘0’ alalım gibi) ki bu durumda geri dönüp, varsayımı düzeltip hesabı yeniden yapmamız gerekir. Hiç bir durumda ‘8/0’ı bir sayıya eşitleyip hesaba devam etmeyiz (yoksa roket Ay’a inmez ya da su borcunu fazla ödersiniz). Yani, matematikçilerin bunu tanımlamaması, uygulamalarda bir zorluk yaratmıyor, çünkü hiç bir uygulamada böyle bir işleme rastlanamaz. Rastlanması, bize bir yerlerde bir hata olduğunu söyler, başka bir şey değil.
(3) Matematikte limit hesabı denen bir şey var. Ama sadece matematikte değil, uygulamalarda da rastladığımız bir hesap yöntemi bu. Bir bağımsız değişkenin (diyelim ‘x’) belli bir değeri için (diyelim ‘B’), başka bir bağımlı değişkenin ne değer alacağını bulmak istiyoruz (Örneğin, ‘8/x’ ifadesinin ‘x=0’da değeri gibi), ama işlemin bir aşamasında yukarıdaki anlamda tanımsız bir durumla karşılaşıyoruz ve işleme devam edemiyoruz. Bu durumda, x’in değerini B’ye çok yakın (ama B’den farklı) alır ve hesabı kazasız belasız yaparız. Ama, x=B durumunda ne olduğunu anlamak için, her defasında x’i B’ye daha yakın seçerek bu hesabı sürekli tekrarlamamız ve sonucun nasıl değiştiğini incelememiz gerekir. Eğer, x, B’ye yakınsarken, sonuç da bir sayıya yakınsıyorsa buna ifadenin limiti diyoruz. Eğer, x’in B değerini alması mümkünse, süreklilik gereği ifadenin de bu noktada limit değere eşit olması gerektiğini söyleriz ama bu her durumda söz konusu değil.
Şimdi, ‘8/x’ ifadesinin ‘x=0’da limiti iki değişik şekilde elde edilebilir. Birincisi, x pozitif değerler alarak 0’a yaklaşırsa, bu durumda ‘8/x’ git gide daha büyük değerler alarak sonsuza ıraksar (8/1=8, 8/0.1=80, 8/0.01=800, ... ). 8/0=sonsuz diyenler aslında bu limit işlemini kast ediyorlar (bunun ne anlama geldiğine aşağıda değineceğim). Ama, x, 0’a aşağıdan, negatif değerler alarak yaklaşıyorsa bu defa gittikçe azalan (negatif yönde ıraksayan) bir dizi elde ederiz [8/(-0.1)=-80, ...]. Bu durumda da limit “eksi sonsuz” olacak. Eğer, sonsuzu bir sayı olarak düşünüyorsanız, bu durumda da 8/0’ı tanımlamada zorluk var çünkü ifade “artı sonsuz” da olabilir “eksi sonsuz” da (bu durum için “belirsiz” kelimesi kullanılabilir).
Uygulama olarak şöyle basit bir şey düşünelim: Kütlesi m olan bir cisme değeri F=8 Newton olan bir kuvvet uyguluyoruz. Kütle çok küçülürse ivme ne olur? Formülümüz a=F/m. Ama cevabımızı elde etmek için formüle m=0 yerleştiremeyiz, çünkü kütlesi sıfır olan bir şey yok ve kuvveti var olmayan bir şeye uygulayamayız. Öyleyse, m her zaman 0’dan farklı olmalı. Buna karşın m’yi istediğimiz kadar küçük seçebiliriz (bu tam olarak doğru değil ama sonucumuz için bu önemli değil). Buna ek olarak, m her zaman pozitif olmalı (diğer limiti böylece eliyoruz). Kütle sıfıra giderken ivmenin sonsuza gitmesinin anlamı şu: Bana ne kadar büyük bir değer söylerseniz söyleyin, 8 Newton’la o değerde bir ivme elde edebileceğim küçük bir kütle bulabilirim. Benim “sonsuz” kavramından anladığım bu. Yani, m=0 ile a=sonsuz ifadelerinin hiç bir fiziksel anlamı yok, ama bu ifadeler bana bir ilişkiyi açıklıyor (m gittikçe küçülürse, a sınırsız büyür). Bu nedenle 8/0=sonsuz, matematiksel anlamda, ilgili uygulamadan soyutlanmış bir şekilde pek fazla bir anlam ifade etmiyor, ama eğer bu niceliklerin anlamlarını biliyorsanız size bir bilgi veriyor.
(4) Son olarak, matematiksel açıdan “sayılar kümesini A/0 gibi nicelikleri tanımlı yapacak şekilde büyütsek iyi olmaz mı” sorusu var. Artı ve eksi sonsuz gibi yeni “sayılar” ekleyip bu tip genişletmeler yapmak mümkün ama eninde sonunda bir yerde problem oluşuyor. Örneğin, ‘0 x sonsuz’ veya ‘sonsuz – sonsuz’ gibi ifadeler iyi tanımlanamıyor. Yani, bölme işlemini bütün sayıları kapsayacak şekilde tanımlamaya kalksak, bu defa çarpma gibi diğer işlemlerin tanımsız olduğu durumlarla karşılaşıyoruz. Veya “A/x=B/x” ifadesinden doğrudan “A=B” olduğu sonucunu çıkaramıyoruz. Gerçi sonsuzun sayılar kümesinin bir elemanı olarak görüldüğü bazı matematiksel kuramlar var ama bunlarda da olası işlemler çok dikkatli bir şekilde tanımlanıyor ve iyi bildiğimiz aritmetik kurallarından bazılarının geçerliliğini yitirdiği göz önüne alınıyor.
Sonuç olarak: 8/0 ifadesinin değerinin, matematiğin günlük hayattaki uygulamaları açısından tanımlanmasına gerek yok. Tanımlasanız bile, uygulaması olmadığı için bu soyut bir tanım olarak kalacaktır. Eğer buna ille de bir değer vermek istiyorsanız, artı veya eksi sonsuz en iyi değerdir, ama burada da sonsuz’un sizin için ne anlam ifade ettiğini bilmeniz gerekiyor.
Saygılarımla..