16) Popülasyon Büyümesinin Lojistik ModeliNe Anlama Geliyor?
Bir türe ait popülasyonun nesiller içerisinde, kısıtlı kaynaklar dahilinde nasıl değişeceğini tahmin etmemizi sağlar. Denklemin sol tarafı verilen bir popülasyon büyüklüğünün belli bir zaman sonraki değerini ifade eder. Denklemin sağ tarafındaki "k" harfi popülasyonun büyüme oranını, "xt" ise birim zamanda popülasyonun büyümesinin, popülasyonun taşıma kapasitesine bölümünden elde edilen sonuçtur.
Tarihi Nedir?
Popülasyon büyümesinin kaosa neden olabileceğini ileri süren ilk kişi 1975 yılında Robert May olmuştur. Vladimir Arnold ve Stephen Smale gibi matematikçilerin çalışmaları sayesinde bu kaosun diferansiyel denklemlerle ifade edilebileceği anlaşıldı.
Önemi Nedir?
Kaos teorisinin geliştirilebilmesini sağlamıştır. Bu da, doğal sistemlerin nasıl işlediğine dair anlayışımızı tamamen değiştirmiştir.
Modern Kullanımı Nedir?
Depremlerin modellenmesinde ve hava durumunun tahmin edilmesinde kullanılmaktadır.
17) Black-Scholes ModeliNe Anlama Geliyor?
En risksiz biçimde fiyatın belirlenmesini ve bu belirlenen fiyatın ara kazanç fırsatı olmadan doğru fiyat olmasını sağlayan denklemdir. Denklemdeki "sigma" bir malın fiyatlarındaki dalgalanmayı, "S" malın fiyatını, "V" zamana ve mal fiyatına bağlı bir fonksiyonu, "r" yıllık risksiz faiz miktarını belirtir. Denklemde karmaşık bir türev hesabı yapılarak fiyatlar belirlenmeye çalışılmaktadır.
Tarihi Nedir?
İlk olarak Fischer Black ve Myron Scholes tarafından geliştirilmiştir ve sonrasında Robert Merton tarafından genişletilmiştir. Bu ikili, keşifleri sayesinde 1977 yılında Nobel Ekonomi Ödülü'nü almışlardır.
Önemi Nedir?
Günümüzde trilyon dolarlarla ifade edilebilen pazarların kurulmasını mümkün kılmıştır. Bu denklemlerin ve türevlerinin kötüye kullanımının ekonomik krize neden olduğu iddia edilmiştir. Bu denklemlerin, gerçek piyasada geçerli olmayan varsayımlarda bulunduğu bilinmektedir.
Modern Kullanımı Nedir?
Bu denklem ve türevleri halen ürünlerin fiyatlandırılmasında kullanılır.
18) Newton'un İkinci YasasıNe Anlama Geliyor?
Bir cisim üzerindeki net kuvvetlerin toplamının, o cismin kütlesi ile hızının değişiminin (ivmesinin) çarpımı olduğunu gösterir. Esasında Newton tarafından doğrusal momentumun değişiminin net kuvvete eşit olduğu şeklinde ifade edilmiştir. Ancak günümüzde o denklemden çıkarılan yukarıdaki denklem daha meşhur olarak bilinmektedir. Denklemde "F" net kuvveti, "m" cismin kütlesini, "a" ise ivmeyi gösterir.
Tarihi Nedir?
Dünya üzerinde insan tarafından yaratılan neredeyse istisnasız olarak tüm sistemlerin arkasında yer alan bu denklemin, ilk olarak Sir Isaac Newton tarafından keşfedilmediği düşünülmektedir. Hatta Newton, bu durumu "Bu kadar uzağı görebilmemin tek nedeni, benden önce gelen devlerin omuzlarında yükselmemdir." olarak izah etmektedir. Ancak bu denklemi meşhur eden, şüphesiz Newton'dur. Üstelik 1750 yılında bu denklem Leonhard Euler tarafından genelleştirilmiş ve kapsamı genişletilmiştir.
Önemi Nedir?
Daha önce de bahsettiğimiz gibi, günümüzde var olan neredeyse tüm mühendislik ürünlerinin arkasında bu formül veya bu formülden çıkarılan diğer denklemler yer almaktadır. Akışkanlardan tutun da robotiğe kadar, hareket halinde bulunan her cismin analizinde bu denkleme başvurulmaktadır. Eğer cisimlerin hareketleriyle o cisimler üzerine etki eden kuvvetler arasında bir bağ bulamasaydık, muhtemelen günümüz teknolojisi asla var olmayacaktı.
Modern Kullanımı Nedir?
Hareket halindeki tüm sistemlerin temel analizinde kullanılır. Bunun haricinde bu denklemin genişletilmiş versiyonu, uzaya çıkmak için kullandığımız roketlerin fırlatma analizlerinde, araçların dinamik yapılarının analizinde, kısaca içerisinde bir kuvvet ve bir hareket bulunduran tüm kütlelerin analizinde kullanılmaktadır.
19) Özel Görelilik TeorisiNe Anlama Geliyor?
Uzay ve zamanın birbirine nasıl bağlı olduğunu ortaya koyan teoridir. 2 temel ilkeye dayanır: ilki, tüm fizik yasalarının ivmesi olmayan her referans düzleminde aynı olduğudur. İkincisi ise vakum içerisinde ışığın hızının, ışık kaynağının hızından bağımsız olarak, tüm gözlemciler için eşit olduğudur. Buna bağlı olarak, zamanın tüm gözlemciler için aynı hızda akmadığı gerçeği ortaya çıkarılmıştır. Cisimlerin hızı arttıkça enerjileri de arttığı için, uzay-zaman üzerindeki etkilerinin değiştiğini ve bu sebeple 4. bir boyut olarak düşünülebilecek olan zamanın da bu bükülmeden etkilendiğini göstermektedir. Yalın haldeki bu denklemde "v", bir cismin hızını, "c" ışık hızı sabitini, "t" referans düzlemindeki zamana, t' ise gözlemci tarafından deneyimlenen zamanı gösterir. Gözlemcinin hızı ışık hızına yaklaştıkça, zaman onun için yavaşlar ve ışık hızına ulaşıldığında tamamen durur.
Tarihi Nedir?
Newton mekaniğinin çıkarımlarının Maxwell tarafından geliştirilen elektromanyetizma denklemleri ile uyumlu olmadığının görülmesi, uzay-zaman algımızın hatalı olduğuna dair ilk soru işaretlerini doğurmuştu. Einstein, bu konu üzerine uzun yıllar kafa yorarak, sonunda 1905 yılında yazdığı "Hareket Eden Kütlelerin Elektrodinamikleri Üzerine" başlıklı makalesinde Özel Görelilik Teorisi'ni ortaya koydu. Bu teori sayesinde, Newton'un Kütleçekim Teorisi'nin çok sınırlı olduğu, Evren'in sandığımızdan çok daha farklı bir yapıda olduğu anlaşıldı. "Özel" denmesinin nedeni, görelilik prensibinin özel bir vakaya, "ivmeye sahip referans düzlemleri"ne uyarlanmış olmasıdır. Yoksa cisimlerin birbirlerine göre gözledikleri hızların farklı olduğu Gelileo'dan beri zaten biliniyordu; ancak bunun tüm fiziğin temellerini etkileyebileceği fark edilmemişti.
Önemi Nedir?
Tıpkı az sonra göreceğimiz gibi, Genel Görelilik Teorisi ile birlikte modern fiziğin temellerini atan teoridir. Newton Mekaniği'nin yeterince isabetli ve geçerli olmadığını göstermiştir. Bu teori sayesinde, Newton mekaniğini ve teorisinin, çok düşük hızlarda (genelde günlük yaşantıda gördüğümüz cisimlerin ve deneyimlediğimiz olayların hızında) geçerli bir yakınsama olduğu gösterildi. Işık büzülmesinden zamanın yavaşlamasına kadar, kütle ve enerjinin eş olduğu gerçeğinden evrensel bir hız limiti olduğunun (ışık hızı) keşfine sayısız kavramın keşfedilmesinin önünü açmıştır. Özel Görelilik Teorisi, diğer fizik kuralları ile birleştirildiğinde daha önce işlediğimiz meşhur "E=mc2" denklemini doğurmaktadır.
Modern Kullanımı Nedir?
GPS gibi teknolojiler, Özel Görelilik Teorisi sayesinde mümkün olmuştur. Aynı zamanda birçok hava tahmini aracı ve uydusu, bu teoriden faydalanarak geliştirilmektedir. Dahası, Hubble tarafından yapılan evrenin sürekli genişleyeceğinin keşfi (halen tartışmalar olsa da), evrenin yaşının hassas biçimde hesaplanabilmesi, zaman yolculuğuna dair ilk sağlam temelli teorik fikirlerin geliştirilebilmesi, karadeliklerin davranışlarının çok daha net şekilde anlaşılabilmesi, Büyük Patlama'dan hemen sonra oluştuğu düşünülen kütleçekim dalgalarının doğasına yönelik hesaplamalar, bazı uzay teleskoplarının hassas kütleçekim lensi ayarları, atomdan enerji üretebileceğimiz gerçeği ve dolayısıyla tüm nükleer santraller (ve atom bombaları) ve en önemlisi, Kuantum Mekaniği'ne yönelik ilk temeller bu teori sayesinde mümkün olmuştur.
20) Genel Görelilik Teorisi ve Einstein'ın Alan DenklemleriNe Anlama Geliyor?
Toplamda 10 denklemden oluşan Einstein'ın Alan Denklemleri, uzay-zamanın madde ve enerji dolayısıyla bükülebileceğini öngören ve kütleçekiminin temel etkileşimlerini formülize eden bir denklemdir. Her ne kadar oldukça sade gözükse de, aslında son derece karmaşıktır. Denklemde "Rμν" Ricci eğim tensörü denen ve uzay-zaman geometrisini tanımlamak için kullanılan bir faktörü, "R" uzay-zamanın skalar eğimini, "gμν" metrik bir tensörü, "Λ" kozmolojik sabiti, "G" Newton'un kütleçekim sabitini, "c" ışık hızını, "Tμν" ise stres-enerji tensörünü göstermektedir. Tensörler, yönü ve şiddeti bilinen vektörler ile, sadece şiddeti bilinen skalarlar ve kendileri gibi diğer tensörler arasındaki doğrusal (lineer) ilişkileri tanımlayan geometrik objelerdir. Basitçe, bir fiziksel olgunun birbiriyle ilişkili özelliklerini birbirine bağlayan matematiksel ifadeler olarak düşünülebilir. Denklem, evrenimizin uzay-zaman dokusunun içerdiği enerji ile bu dokunun geometrik yapısı arasındaki ilişkiyi gösterir.
Tarihi Nedir?
Albert Einstein tarafından 1916 senesinde yayınlanan Genel Görelilik Teorisi, kütleçekimin geometrik bir teorisi olarak düşünülebilir. Modern fizikte halen geçerli kabul edilen kütleçekim kuramıdır. Einstein, 1905 yılında Özel Görelilik Teorisi'ni geliştirdikten sonra, kütleçekimini de her şeyin göreli olduğu düşüncesine dahil etmeye çalıştı. 1907 senesinde basit bir düşünce deneyiyle yola çıkan Einstein, 8 yıl boyunca Genel Görelilik Teorisi üzerine çalıştı ve sonunda başarıya ulaştı. Uzay Teleskobu Bilim Enstitüsü'nden astrofizikçi Mario Livio, "Tek bir matematiksel denklemin bütün uzay ve zamanı açıklayabilmesi beni halen şaşırtır. Einstein'ın bütün dehası, bu denklemde gizlidir." demektedir.
Önemi Nedir?
Bu denklem, Newton Fiziği'ni genelleştirmesi ve Newton'un öngörülerinin gerçekleri tam olarak yansıtmadığını göstermesi bakımından çok büyük öneme sahiptir. Einstein'ın Görelilik Teorisi'ni geliştirmesine kadar, Newton'un yaptığı açıklamalar ve geliştirdiği fiziğin, evrenin dinamiklerini anlamak konusunda nihai ve değişmez, hiçbir hatası olmayan açıklamalar ve hesaplamalar olduğu sanılıyordu. Ancak bu teori, bilim insanlarının Newton'un büyük resmin sadece ufacık bir noktasını gördüğünü anlamasını sağladı. Bu, bilimin gidişatını kökünden değiştiren büyük bir keşifti. O güne kadar "Newton Kanunu" olarak bilinen kütleçekimine yönelik açıklamalar, o tarihten sonra "Newton'un Kütleçekimi Teorisi" olarak anılmaya başlanmıştır. Çünkü bilimsel açıklamaların doruk noktasının kanunlar değil, teoriler olduğu netleşmiş, eskiden kanun olarak gördüğümüz her şeyin değişebileceği anlaşılmış, teorilerin kanunları kapsayan, açıklayıcı gücü kanunlardan kat kat fazla olan bilimsel bilgi bütünleri olduğuna kanaat getirilmiştir. Bu denklem, ışık hızından çok düşük hızlar için hesaplandığında, Newton'un geliştirdiği kütleçekim denklemine indirgenebilmektedir. Dolayısıyla Einstein'ın bu denklemi, tartışmaya yer bırakmaksızın Newton'un denkleminden daha kapsamlı ve güçlüdür.
Modern Kullanımı Nedir?
Günümüzdeki astronomik gözlemlerin ve ölçümlerin neredeyse tamamı Einstein'ın Genel Görelilik Kuramı'na dayanmaktadır. Örneğin uzay-zamanın büyük kütleli veya enerjili cisimler tarafından bükülebileceği fikri sayesinde, uzak yıldızlardan gelen ışıkların bükülmüş bir uzay-zamandan geçerek, orijinalinden sapmış bir şekilde bize ulaştığını keşfettik. Benzer şekilde, Dünya'nın ve diğer gezegenlerin Güneş etrafında nasıl döndüğünü de bu teori sayesinde isabetli olarak izah edebildik. Newton'un düşündüğünün aksine çekim kuvvetinden ötürü değil, uzay-zamanın büyük kütleli cisimler tarafından bükülmesi sonucu yörüngelerin oluştuğunu anladık. Ayrıca Evren'imizin doğal başlangıcını açıklayan Büyük Patlama Kuramı'nın büyük bir kısmı da Einstein'ın Genel Görelilik Teorisi üzerine kuruludur. Örneğin Einstein, Büyük Patlama'dan hemen sonra, uzay-zaman dokusundaki "buruşmalar" olarak basitleştirilebilecek kütleçekim dalgalarını öngörmüştür ve bu öngörüsü 2014 yılındaki bulgularla büyük oranda doğrulanmıştır. Ayrıca gök cisimlerinin hareketleri ve birbirleriyle ilişkisi konusunda yüzlerce yeni keşfin kapısını bu teori aralamıştır. Karadeliklerin dinamikleriyle ilgili sayısız keşfe imza atmamızı sağlamıştır. Dahası, kozmolojik modellerin güncellenmesini ve yepyeni kozmos modelleri geliştirilmesini sağlamıştır. Evren'in başlangıcından beri nasıl evrimleştiğini izah edebilmemizi sağlamıştır. Astrofiziği ve kozmolojiyi kökünden değiştirmiştir. Dahası, teorinin "tarihsel ve felsefi" bir önemi de, bilim terminolojisine etki ederek "teori-kanun" ayrımını netleştirmesi olmuştur.
21) Standart ModelNe Anlama Geliyor?
Denklemin daha uzun ve açık bir versiyonuna buraya tıklayarak ulaşılabilir. Kuantum Mekaniği'nin en önemli ve geçerli modellerinden biri olan Standart Model, kuarklar gibi Evren'imizi oluşturan temel parçacıkların varlığını, birbirleriyle etkileşimini ve dinamiklerini izah etmektedir. Yani "Evren'in denklemi" olarak düşünülebilir. Ancak henüz tamamlanmamıştır. Denklemdeki tüm terimleri izah etmeyeceğiz; ancak eşitliğin sağ tarafındaki ilk terim topluluğu ölçüm bozonlarının kendi içlerindeki etkileşimlerini ve kinetik enerjilerini göstermektedir. İkinci terim topluluğu fermiyonlar arasındaki elektro-zayıf etkileşimleri ve kinetik enerjileri göstermektedir. Üçüncü terim grubu çeşitli bozonların (W, Z ve Higgs gibi) kütlesini ve birbirleriyle olan ilişkilerini modellemektedir. Dördüncü terim grubu kuarklar ve gluonlar arasındaki etkileşimleri göstermektedir. Son terim grubu ise fermiyon kütlelerini ve bunların Higgs ile bağlantısını göstermektedir.
Tarihi Nedir?
Standart modele ilk adım Sheldon Glashow'un 1961 yılında elektromanyetizma ile zayıf çekirdek kuvvetini birleştirebileceğini keşfetmesiyle atıldı. 1967 yılında Steven Weinberg ve Abdus Salam, Higgs mekanizmasını Glashow'un elektro-zayıf teorisine dahil etmeyi başardı. Böylece model, modern halini aldı. Higgs mekanizmasının cisimlerin nasıl kütle kazandığını açıkladığı düşünülmektedir. Kütleli bu parçacıklar arasında W ve Z bozonları ve fermiyonlar (kuarklar ve leptonlar) bulunmaktadır. CERN'de 1973 senesinde Z bozonları tarafından nötral zayıf akıntıların oluşturulduğu keşfedildikten sonra elektro-zayıf teorinin kaşifleri Glashow, Salam ve Weinberg'e 1979 yılında Nobel Fizik Ödülü verildi. W ve Z bozonlarının varlığı 1981 yılında deneysel olarak ispatlandı ve kütlelerinin tam da Standart Model ile tahmin edildiği gibi olduğu doğrulandı. 1973-74 yıllarında güçlü çekirdek kuvveti de, hadronların kesirli yüklere sahip parçacıklar olduğunun deneysel olarak doğrulanması sonrasında denkleme dahil edilebildi. Şu anda tek sorun, kütleçekimini, yani Einstein'ın Görelilik Teorisi'ni bu denkleme dahil etmektedir. Bu konuda araştırmalar halen devam ediyor.
Önemi Nedir?
Kaliforniya'da bulunan SLAC Ulusal Hızlandırıcı Laboratuvarı'nda çalışmakta olan fizikçi Lance Dixon'a göre denklem, laboratuvarda (ve günlük yaşantılarımızda) bugüne kadar gözlenmiş bütün parçacıkların ve kuvvetlerin (kütleçekimi hariç) tanımını yapabilmektedir. Bu, denklemin gücünü göstermektedir. Denklem, Higgs bozonunu da barındırmaktadır ve denklem içerisinde "Φ" ile gösterilen budur. Denklem, kuantum mekaniği ve özel görelilik teorisi ile tamamen uyumludur ve onları içerisinde barındırmaktadır.
Modern Kullanımı Nedir?
Bütün modern kozmolojik araştırmaların kalbinde Standart Model yatmaktadır. Atom altı parçacıkların boyutundan başlayarak, tüm evrenin nasıl doğal süreçlerle oluşabildiğini açıklayabilmemizin temel kaynağı bu modeldir. Bu sayede, atom altı parçacıkların davranışlarını ve özelliklerini keşfedebilmeyi başardık. Dahası, henüz deneysel olarak doğrulayamadığımız; ancak olması gerektiği bu denklem sayesinde gösterilen birçok parçacığı keşfetmemizi sağlamıştır. Örneğin bu denklem üzerinde yapılan çalışmalar sayesinde belli bir parçacığın belli bir enerji düzeyinde görülmesi gerektiği anlaşılabilir. Sonradan, hızlandırıcı ve çarpıştırıcılarda yapılan deneylerle, bu denklemin öngörüleri doğrulanabilir. Böylece yepyeni parçacıklar keşfetmemiz ve var olan parçacıkların davranışlarını açıklayabilmemiz mümkün olmuştur. Evren'in yapıtaşlarını oluşturan parçacıkları ne kadar iyi tanırsak, nereden geldiğimizi ve nasıl var olduğumuzu o kadar net bir şekilde açıklayabiliriz. Standart Model, "Evren nasıl var oldu?" sorusunun nihai bilimsel cevabını verebilmeye en güçlü adaydır.
Kaynaklar ve İleri Okuma:
http://www.evrimagaci.org/http://www.businessinsider.com/the-17-equations-that-changed-the-world-2012-7?op=1http://www.discovery.com/tv-shows/curiosity/topics/discoveries-relativity-made-possible.htmhttp://www.csicop.org/si/show/special_relativity_after_100_years/http://www.livescience.com/26681-most-beautiful-mathematical-equations.html?cmpid=514627_20140907_31011406